142857, Um número cabalístico!

«É um dos mais curiosos números da história. Ele apresenta, em relação aos seus múltiplos, coincidências interessantes.

Multipliquemo-lo por 2:
142857 x 2 = 285714
Vemos que os algarismos constitutivos do produto são os mesmos do número dado, por outra ordem. O 14 que se achava à esquerda transportou-se para a direita.

Multipliquemos agora por 3:
142857 x 3 = 428571
Ainda uma vez observamos a mesma singularidade: os algarismos do produto são, precisamente, os mesmos do número, alterada apenas a ordem. O 1 que se achava à esquerda passou para a direita, os outros algarismos lá ficaram, onde estavam.

A mesma coisa ocorre, ainda, quando o número é multiplicado por 4:
142857 x 4 = 571428

Notemos, agora, o que vai ocorrer no caso da multiplicação por 5:
142857 x 5 = 714285
O algarismo 7 deslocou-se da direita para a esquerda, os restantes permaneceram nos seus lugares.

Observemos a multiplicação por 6:
142857 x 6 = 857142
Feito o produto nota-se que o grupo 142 permutou, apenas, de posição com o 857.

Uma vez chegados ao factor 7, impressiona-nos outra particularidade.
142857 x 7 = 999999
O número 142857, multiplicado por 7 dá como produto um número formado por seis noves!

Experimentemos o factor 8. O produto será:
142857 x 8 = 1142856
Todos os algarismos aparecem, ainda, no produto, com excepção do 7. O 7 do número primitivo foi decomposto em duas partes: 6 e 1. O algarismo 6 ficou à direita e o 1 foi para a esquerda completar o produto.

Vejamos agora o que acontece quando multiplicamos por 9:
142857 x 9 = 1285713
Observemos com atenção esse resultado. O único algarismodo multiplicando que não figura no produto é o 4. Que teria acontecido com ele? parece decomposto em duas parcelas 1 e 3, colocados nos extremos do produto.

Do mesmo modo poderíamos verificar as singularidades que apresenta o número 142857 quando multiplicado por 11, 12, 13 15, 17, 18, etc

Eis porque o número 142857 se inclui entre os números cabalísticos da Matemática!»

- Excerto do livro 'O Homem que Sabia Contar', Malba Tahan, Editorial Presença

Recebi este livro como presente quando ainda era pequeno. Sempre achei, e agora ainda mais, este livro muito interessante. Recomendo-o vivamente pois é muito simples e fácil de ler e dá-nos, na minha opinião, uma visão extraordinária da matemática, que pode ser interessante, divertida e muito, muito útil.

Desafio agora quem se interessar por estas maravilhas matemáticas a descobrir as coincidências do produto do número 142857 pelos factores seguintes e a mostrá-las aqui! .... ....

142857 * 11 = 1571427

o numero q falta é o 8, e 1+7 = 8

142857 * 12 = 1714284

o numero q falta é o 5, e 1+4 = 5 !

142857 * 13 = 1857141

o numero q falta é o 2 e 1+1 =2

LOOL e agora

142857 * 14 = 1999998

e 1+ 8 = 9 ahahaha

142857* 15 = 2132855

2+5 = 7

142857 * 16 = 2285712

e 2+2 = 4

brutal por acaso sabes quem descobriu isto?

nao, neste livro foi a primeira vez k ve conhecimento dele.. o livro ate traz bibliografia mas é kuase td relacionado com islamismo e o oriente, ou sobre costumes ou traduções, etc.

o livro tem outros episódios muito bons, se kiserem posso transcreve-los praki. De qq modo, como ja disse, recomendo vivamente que o leiam

O livro ainda acrescenta, numa consideração sobre o problema:

"O número 142857 nada tem de cabalístico, nem de misterioso.
É obtido quando convertemos a fracção 1/7 em número decimal. Eis como é fácil verificar:
1 / 7 = 0,142 857 142 857 ...
Trata-se de uma dízima periódica simples, cujo período é 142857.
Poderíamos obter outros números, igualmente cabalísticos, convertendo, em dízimas períodicas simples, as fracções ordinárias.
1/13 , 1/17 , 1/31, etc."